Hola compañero,
yo soy de Oviedo y coincido con Rondiellu en que puedes tomar Gijón como base para conocer toda Asturias, no hay nada que este tan lejos como para no poder ir por la mañana y volver por la noche, aunque tampoco es cuestión de cansar a los crios.
Aparte de los sitios que te comenta el compañero, yo me olvidaría de las dos playas más conocidas de Gijón y me iria a conocer las verdaderas maravillas que tenemos por aquí ( Barayo, Torimbia, Bayas, La Cueva...). También hay rutas de naturaleza fáciles pero impresionantes como la de La Olla de San Vicente (muy buena para hacer con crios porque se hace en 40 minutos ida y 40 vuelta, al final hay una poza preciosa para poder bañarse los crios y vosotros, es un río muy limpio y el agua es una pasada, conviene hacerla por semana para que no haya demasiada gente (queda cerca de Arriondas). Tampoco me perdería la zona de los Oscos y Taramundi (con sus famosas navajas) y a la vuelta el museo etnográfico de Grandas de Salime. También podéis visitar el museo de la mineria, los niños se lo pasan fenomenal.
Para comer hay mucho y muy variado, dependiendo de lo que busquéis, pero es fácil comer bien y barato; aunque también hay alternativas caras.
Te dejo algunas recomendaciones:
en Gijon carne muy buena el El Sueve.
Fabada: casa Gerando en Prendes (carillo pero el que más fama tiene)
Avilés: Viana para comer el mejor cachopo de Asturias, bar cutre 12 euros el cachopo y va para 2.
Pola de Allanda: La Nueva Allandesa. Menú degustación asturiano, te sale la comida por las orejas y es para dejar que te pongan todo lo que les apetezca sin pedir a la carta, te van sacando cosas. No es caro para la cantidá.
Mestas de Ardisana (cerca de Posada de LLanes): Casa Sicu pa comer tortos, cebollas rellenas y verdinas (fabada tipica de LLanes con fabes verdes).
A las afueras de Oviedo, en la Arquera (Puerto) Casa Chema menu degustacin 18 euros y este año gano el premio mejor fabada de asturias. Pisaje precioso y comida muy buena.
El Cabañon, en Naves (LLanes) para comer tortos de Maiz, emberzao...
Tineo: Casa Emburria.
El Esbardu en Proaza si haceis la ruta del oso.
EL Jamallo en Quirós : caza, pote de castañas (aunque no sea temporada). Muy buena comida.
Sidra: cualquier sidrería, hay distintas marcas y suelen estar buenas todas, pero hay que dar con la que te gusta, las mejores; nozala, sidra trabanco, miravalles, casa fran. No se pide por marcas en cada sitio tienen una, y una sidra es una botella no se piden culines...
Si puedo ayudar en algo más

lo haré encantada.