Si quieres recuperar la alarma lo primero que hay que hacer es buscar una solución a la falta de esa rueda catalina, después hay otros retos más fáciles de superar, pero primero hay que solucionar éste.
Será prácticamente imposible encontrar una rueda catalina que le sirva a ese reloj porque, aunque saliera alguna a la venta no puedes saber si el número de dientes, su tamaño y otras medidas serían las adecuadas.
Si queremos construirla nos encontramos con el mismo problema, y no es cuestión de hacer unas cuantas para ver si acertamos por casualidad con alguna.
Pero hay una solución, provisional, o definitiva si te gusta, con la que podemos hacer que funcione y además obtener las medidas que necesitamos en caso de que te decidas a construir una como la que llevaría en origen.
Primero tienes que mirar con una lupa en los dos planos del eje vertical para ver si hay señales de dónde actuaban los dientes de la rueda catalina y mide la distancia entre esas señales. Con esta distancia como diámetro realiza una circunferencia donde se harán unos pequeños agujeros equidistantes para introducir unas clavijas, tal como muestro en las siguientes imágenes.
La dificultad está en saber cuántas clavijas y su longitud. Es imprescindible que el número sea impar. Las ruedas catalinas siempre tienen número impar de dientes para poder realizar el escape, y en este caso el número no es tan importante siempre que permita realizar el escape, porque variará la rapidez con la que da las campanadas, pero eso para la alarma no es importante, creo que 15 puede ser un número adecuado para empezar a probar, pero si ves que no puedes conseguir que funcione prueba con 17, 13.... No creo que necesite más, pero del error y ensayo sale la solución. Es conveniente que al principio sean algo más largas de lo necesario e ir desgastándolas poco a poco, y muy importante que todas sean iguales.
Las clavijas tienen la ventaja de que se pueden forzar un poco hacia el lado adecuado para conseguir que sus puntas queden equidistantes entre sí, y deben estar bien afiladas.
Como tendrás que probar muchas veces antes de conseguir que funcione sería conveniente quitar todos lo engranajes y demás piezas que van entre las dos platinas, dejando solo el brazo vertical y ese eje nuevo que le has hecho, donde colocarás y probarás si funciona este círculo con las clavijas. Incluso puedes hacer un eje nuevo, pero sin piñón y probar empujándole ligeramente con el dedo por el contorno. Para probar es mejor que prescindas de la fuerza del resorte, una vez que funciona ya lo probarás con el sistema completo.
Si consigues que funcione, espero que sí, y si quieres construir la rueda tal como sería en origen ya tienes las medidas. Quedaría así.
Otros compañeros del foro probablemente tengan otras soluciones, pero esta es la que se me ocurre a mí.